Avis de soutenance de Doctorat LMD en Mathématiques de Madame Djebara Sabiha

Cette thèse vise à fournir de nouveaux résultats sur les jeux matriciels avec contraints linéaires et sous incertitude. Dans un premier temps, nous nous intéressons à l’étude d’un jeu matriciel avec contraintes linéaires, dans un environnement flou. Ainsi, dans le cas où les gains et les contraintes sont des nombres flous de type $LR$, nous proposons une nouvelle méthodologie basée sur « chance constraints » et sur le concept de comparaison des nombres flous. Nous commençons par formuler les contraintes floues de chaque joueur sous forme de « chance constraints » en utilisat la mesure de possibilité. En utilisant une fonction ranking, un jeu matriciel deterministe avec contraintes est obtenu. Ensuite, nous introduisonsla notion d’équilibre de point selle pour ce jeu. En utilisant des résultats sur l’ordre des nombres flous, des conditions suffisantes d’existence de ce concept sont fournies. Nous demontrons que cette solution est obtenue par la résolution d’un couple de problème de programmation linéaire primal-dual. Enfin, un exemple de modèle de jeu de concurrence sur le marché est considéré et résolu par la méthode proposée.

Deuxièmement, nous considérons un jeu matriciel où les ensembles de stratégies sont soumis à des contraintes linéaires flou-stochastiques. En utilisant la mesure de possibilité et la mesure de probabilité, nous construisons un nouveau jeu matriciel deterministe avec contraintes. Ensuite, nous definisson la notion d’équilibre de point selle pour ce type de jeu et nous établissons des conditions suffisantes d’existence de la solution proposée. Une technique de calcul de cette solution à l’aide de « second order cone programming » est élaborée . Enfin, une étude de cas de l’approche proposée est discutée.

Mots clés : Chance-constraints, Jeux matriciel avec contraintes, Jeux flous, Programmation floue stochastique, Programmation lineaire, Point selle, Variable floue stochastique.

This thesis aims to provide new results on constrained matrix games under uncertainty. First, we are interested in the study of a constrained matrix game in a fuzzy environment. Thus, in the case where the payoffs and the constraints are LR-fuzzy numbers, we propose a new methodology based on chance constraints and on the concept of a comparison of fuzzy numbers. We start by formulating the fuzzy constraints of each player as chance constraints with respect to the possibility measure. Based on a ranking function, a crisp constrained matrix game is obtained. Next, we introduce a kind of saddle point equilibrium. Using results on ordering fuzzy numbers, sufficient existence conditions of this concept are provided. We prove that this solution is obtained by the resolution of a pair of primal-dual linear programs. Finally, an example of a market competition game model is given and solved by the proposed method.

Second, we consider a constrained matrix game where strategy sets are subject to fuzzy random linear constraints. We construct a new constrained matrix game with respect to probability-possibility constraints. Next, a specific type of saddle point equilibrium is introduced and sufficient existence conditions of the proposed solution are established. A technique for computing the saddle point equilibrium by using second-order cone programming is provided. Finally, a case study of the proposed approach is discussed.

Keywords: Chance constraints, Constrained matrix games, Fuzzy games, Fuzzy random variable, Fuzzy stochastic programming, Mathematical Programming, Saddle point equilibrium.